Лекция Кинематика сплошной среды




НазваниеЛекция Кинематика сплошной среды
Дата конвертации04.07.2013
Размер445 b.
ТипЛекция





  • ТЕОРИЯ

  • УПРУГОСТИ



Лекция 2. Кинематика сплошной среды.

  • Лекция 2. Кинематика сплошной среды.

  • Лекция 3. Тензор напряжений.

  • Лекция 4. Закон Гука.

  • Лекция 5. Уравнение непрерывности, сохранения импульса и момента количества движения сплошной среды.

  • Лекция 6. Уравнение сохранения внутренней энергии. Тензор плотности потока полной энергии



Из курса физики:

  • Из курса физики:

    • твердое тело и идеальная среда.
  • Из курса математики:

    • матрицы и определители,
    • тензоры 1, 2, 3 ранга третьей мерности,
    • дифференциальное и интегральное исчисление,
    • решение простейших дифференциальных уравнений и их систем,
    • анализ дифференциальных уравнений.


− понятии упругих, неупругих и температурных деформаций;

    • − понятии упругих, неупругих и температурных деформаций;
    • физическом смысле и математическом представлении основных характеристик деформаций, возникающих под действием внешних сил и изменении температуры;
    • плотностях потоков сплошной среды, их физическом смысле;
    • основных уравнениях сохранения характеристик сплошной среды;
    • распространении малых упругих возмущений.




Введение основных понятий и терминов, используемых в теории упругости.

  • Введение основных понятий и терминов, используемых в теории упругости.

  • Определение базового набора характеристик для описания напряжений, возникающих в сплошной среде под действием внешних сил и изменения температуры.



2.1. Деформация. Тензор относительной деформации.

  • 2.1. Деформация. Тензор относительной деформации.

  • 2.2. Тензор поворота.

  • 2.3. Тензор деформации

  • 2.3.1. Изменение объёма тела при деформации.

  • 2.3.2. Геометрические свойства линейных деформаций.

  • 2.3.3. Эллипсоид деформации.

  • 2.4. Температурная деформация. Теорема Коши- Гельмгольца.

  • 2.5. Полная деформация элемента объёма.



Кинематика (от греческого слова kinema -движение) - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учёта их массы и действующих на них сил.

  • Кинематика (от греческого слова kinema -движение) - это раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учёта их массы и действующих на них сил.

  • В зависимости от свойств изучаемого движения кинематику подразделяют на:

  • кинематику материальной точки,

  • кинематику абсолютного твердого тела;

  • кинематику непрерывно изменяющейся среды (деформация твердого тела, жидкости или газа)



Под влиянием внешних сил или при изменении температуры тело изменяет свою форму и объём. Поэтому расстояние между двумя любыми соседними точками изменяется, т.е. тело деформируется.

  • Под влиянием внешних сил или при изменении температуры тело изменяет свою форму и объём. Поэтому расстояние между двумя любыми соседними точками изменяется, т.е. тело деформируется.

  • Деформации– однородные: растяжение или сжатие, сдвиг;

  • неоднородные: изгиб и кручение.

  • Рассмотрим в декартовой системе координат некоторое тело (рис.2.1). Обозначим оси координат через xi (i =1, 2, 3).

  • Выделим бесконечно малый элемент объёма тела, расположенный около точки P . Положение точки P можно характеризовать радиусом-вектором r = (x1,,x2, x3).

  • После приложения к телу внешних сил в целом неподвижное тело деформируется, и точка P перейдет в другую точку пространства P , определяемую радиус-вектором r׳ = (x׳1, x׳2, x׳3).





.

  • .

  • На рис. 2.1 видно, что, используя правило параллелограмма, деформацию в точке P можно связать с деформацией в точке Q соотношением u(Q) = u(P) + du ,

  • Каждую компоненту деформации u в точке r + dr можно разложить в ряд Тейлора

  • (2.1.1)



  • Учет нелинейных членов разложения в уравнение (2.1.1) требуется только при больших деформациях. В дальнейшем рассматриваются лишь малые деформации, когда деформацию можно рассматривать как упругую, при которой после снятия внешних сил тело полностью восстанавливает свою форму и объём. Деформация висячего тела

  • Если условиться, что по дважды повторяющемуся индексу производится суммирование, то (2.1.1) можно записать в виде



Изменение смещения dui можно записать в виде

  • Изменение смещения dui можно записать в виде

  • (2.1.2)

  • Величина Aik есть тензор второго ранга третьей мерности, т.к. индексы i и k принимают значения 1, 2, 3. Тензор Aik называют тензором относительной деформации. Его компоненты являются в общем случае функциями координат и времени, т.е. Aik = Aik(r, t).

  • Будем предполагать, что компоненты тензора относительной деформации малы по сравнению с единицей из-за малости деформации или из-за малости промежутка времени деформирования, т.е. Aik << 1.



В тензоре Aik можно выделить симметричную и антисимметричную часть

  • В тензоре Aik можно выделить симметричную и антисимметричную часть

  • (2.1.3)

  • Симметричную часть ik тензора Aik называют тензором деформации, который равен

  • (2.1.4)

  • Антисимметричную часть ik тензора Aik называют тензором поворота, который равен

  • (2.1.5)



Рассмотрим физический смысл компонент тензора поворота ik . Предположим, что все компоненты тензора деформаций ik равны 0, т.е. ik=0. Тогда в соответствие с (2.1.2, 3) имеем

  • Рассмотрим физический смысл компонент тензора поворота ik . Предположим, что все компоненты тензора деформаций ik равны 0, т.е. ik=0. Тогда в соответствие с (2.1.2, 3) имеем

  • (2.2.1)

  • Поскольку в соответствие с определением (2.1.5) компоненты φ11 = φ22 = φ33 = 0, то компоненты тензора ik образуют матрицу

  • (2.2.2)

  • причем, в матрице (2.2.2) φ12 = - φ21 , φ13 = - φ31 , φ23 = - φ32 .

  • Таким образом, имеются лишь три независимых компоненты тензора поворота φik . Введем обозначения φ12 = - φ3 , φ13 = φ2 , φ23 = - φ1 .



В результате матрица (2.2.2) принимает вид

  • В результате матрица (2.2.2) принимает вид

  • (2.2.3)

  • Тогда компоненты вектора согласно (2.2.1) можно записать в виде

  • Данные соотношения определяют компоненты вектора du, который равен векторному произведению векторов и r :

  • du = dui + duj + du3 k = = dr. (2.2.4)



  • Рис. 2.2

  • малый угол , т.е. антисимметричная часть ik тензора относительной деформации Aik описывает не деформацию элемента тела в данной точке Р в собственном смысле этого слова, а лишь его поворот как абсолютно твёрдого элемента тела.



Ротор некоторого вектора u в матричном представлении записывают в виде

  • Ротор некоторого вектора u в матричном представлении записывают в виде

  • (2.2.5)

  • Но согласно определения (2.1.5) для независимых компонент тензора поворота ik и определения (2.2.5) для компонент rot u можно записать следующие соотношения:

  • (2.2.6)

  • Следовательно, компоненты тензора поворота представляют собой компоненты ротора смещения, т.е

  • (2.2.7).



Матрица симметричного тензора деформации (2.1.4) в виде произвольном и приведенная к главным осям деформации

  • Матрица симметричного тензора деформации (2.1.4) в виде произвольном и приведенная к главным осям деформации

  • равна:

  • =

  • Диагональные компоненты тензора деформаций в главных осях называют главными значениями тензора ik и они описывают главные деформации среды. Если все компоненты тензора поворота равны нулю, т.е. ik=0, то согласно (2.1.2, 3)

  • (2.3.1)

  • Деформации в главных осях можно записать в виде

  • (2.3.2)

  • Главные деформации описывают локальные растяжение (+) или сжатие (-) элемента объёма в направлении главных осей деформации. Растяжение или сжатие по трем взаимно перпендикулярным направлениям называют чистой деформацией.



Таким образом, если все компоненты тензора поворота равны нулю (ik = 0), то всегда в элементе объёма, лежащем около точки P, можно определить главные оси деформации, в которых этот элемент объёма испытывает чистую деформацию. Если же компоненты тензора ik не равны нулю, то они описывают поворот этих главных осей вокруг точки P на некоторый малый угол.

  • Таким образом, если все компоненты тензора поворота равны нулю (ik = 0), то всегда в элементе объёма, лежащем около точки P, можно определить главные оси деформации, в которых этот элемент объёма испытывает чистую деформацию. Если же компоненты тензора ik не равны нулю, то они описывают поворот этих главных осей вокруг точки P на некоторый малый угол.

  • Следовательно, деформацию некоторого элемента объёма тела в общем случае можно разделить на:

  • чистую деформацию (растяжение или сжатие по главным осям деформации);

  • поворот на малый угол главных осей деформации.

  • Причем, этот поворот происходит как поворот абсолютно твердого тела. Ранее отмечалось, что компоненты тензора поворота ik являются соответствующими компонентами вектора поворота φ или ротора смещения в соответствии с (2.2.7). Компоненты же тензора деформации ik описывают растяжение или сжатие вдоль трех взаимно перпендикулярных осей (диагональные элементы) и изменение формы (недиагональные элементы).



При чистой деформации рёбра элемента объёма получают приращения и их величину можно определить как ∆xiº ′= ∆xiº+duiº, поэтому в соответствии с (2.3.1 и 2) элемент объема после деформации равен

  • При чистой деформации рёбра элемента объёма получают приращения и их величину можно определить как ∆xiº ′= ∆xiº+duiº, поэтому в соответствии с (2.3.1 и 2) элемент объема после деформации равен

  • Так как рассматриваются только малые деформации, т.е. ε11º, ε22º и ε33º << 1, то, пренебрегая величинами более высокого порядка малости, получим выражение для в виде:

  • 2.3.3)

  • Относительное изменение объёма при чистой деформации равно

  • (2.3.4)

  • Соотношение (2.3.4) можно записать и в следующем виде

  • (2.3.5)



1. Точки элемента объёма тела, находящиеся до деформации в одной плоскости, после линейной деформации также расположатся в некоторой плоскости.

  • 1. Точки элемента объёма тела, находящиеся до деформации в одной плоскости, после линейной деформации также расположатся в некоторой плоскости.

  • Уравнение плоскости и связь компонент некоторой точки на этой

  • плоскости до и после деформации в главных осях имеют вид

  • После деформации координаты точек удовлетворяют уравнению вида

  • Новые координаты точек после деформации удовлетворяют уравнению

  • другой плоскости при чистой деформации, которая рассмотрена для

  • доказательства.

  • В общем же случае деформация элемента объёма состоит из

  • растяжения или сжатия по главным осям и повороту этих осей на

  • некоторый малый угол как абсолютно твёрдого тела, определяемый

  • компонентами тензора поворота. Поворот же элемента объёма как абсолютно

  • твёрдого тела, содержащего некоторую плоскость, не может сместить точки

  • тела из этой плоскости.



2. Точки, лежащие на одной прямой в элементе объёма до деформации, после деформации также будут располагаться на некоторой прямой.

  • 2. Точки, лежащие на одной прямой в элементе объёма до деформации, после деформации также будут располагаться на некоторой прямой.

  • Это свойство следует из первого, т.к. прямая является геометрическим

  • местом точек пересечения двух плоскостей. Следовательно, влияние линейной

  • деформации на материальные точки, расположенные на некотором отрезке

  • прямой, проявляются, во-первых, в повороте прямой на некоторый малый угол

  • и, во-вторых, в растяжении или сжатии этого отрезка.

  • 3. Две параллельные плоскости в элементе объёма до деформации остаются параллельными и после его деформации.

  • В главных осях уравнения двух параллельных плоскостей в элементе объёма и

  • условие их параллельности имеют вид



После деформации плоскости описываются уравнениями

  • После деформации плоскости описываются уравнениями

  • Как видно, условие параллельности плоскостей выполняется и после деформации.

  • 4. Две параллельные прямые, проведенные в элементе объёма до деформации остаются параллельными и после линейной деформации.

  • Это следствие следует из условия сохранения параллельности плоскостей.

  • Повторяя рассуждения следствия 1, можно утверждать, что свойства параллельности прямых и плоскостей сохраняются и при произвольной линейной деформации.



Уравнение сферы единичного радиуса в элементе объёма с центром в начале координат главных осей имеет вид

  • Уравнение сферы единичного радиуса в элементе объёма с центром в начале координат главных осей имеет вид

  • После деформации уравнение сферы с учетом преобразования координат при деформации в главных осях записывается в форме

  • Из данного уравнения следует, что при линейной деформации уравнение сферы переходит в уравнение эллипсоида, если все главные значения тензора деформаций различны. Этот результат справедлив и при произвольной линейной деформации, т.к. поворот элемента объёма как абсолютно твердого тела на некоторый угол не изменяет формы поверхности, расположенной внутри этого элемента объема. Если ε°11 = ε°22 = ε°33(деформация однородна), то сфера переходит в сферу большего или меньшего радиуса. Если ε°11 = ε°22 ≠ ε°33, то сфера переходит в эллипсоид вращения.



Предполагается, что в пределах элемента объёма тела температура постоянна, внешние силы отсутствуют. Пусть в начальный момент времени его температура равна To , а после нагревания или охлаждения она равна T . Предполагается также, что внутри элемента не

  • Предполагается, что в пределах элемента объёма тела температура постоянна, внешние силы отсутствуют. Пусть в начальный момент времени его температура равна To , а после нагревания или охлаждения она равна T . Предполагается также, что внутри элемента не

  • возникает каких-либо напряжений. Поэтому деформацию элемента объёма

  • вследствие изменения его температуры на величину T=T-To можно записать

  • (2.4.1)

  • Здесь величину εТik называют тензором теплового расширения, а αik - тензором линейного теплового расширения. Тензор αik является тензором 2-го ранга третьей мерности. Если элемент объёма достаточно мал и однородный, то температурные деформации имеют место только в главных осях. Поэтому она происходит без его поворота и заключается в расширении (Т > To) или сжатии (Т < To) элемента по трём взаимно перпендикулярным главным осям деформации.

  • Если тело изотропно, то матрица тензора αik в главных осях аналогична матрице εik (см п. 2.3), а диагональные элементы равны α°11 = α°22 = α°33 = α – коэффициент линейного теплового расширения . Тогда тензор теплового расширения можно записать в виде:



В этом случае тензор теплового расширения αik и температурная деформация duTi равны:

  • В этом случае тензор теплового расширения αik и температурная деформация duTi равны:

  • (2.4.2.)

  • Так как duTi есть приращение отрезка dxi вследствие температурных деформаций, то в силу линейности и изотропности деформаций для

  • приращения любого отрезка при однородном нагревании тела можно записать известную формулу

  • (2.4.3)

  • Относительное изменение объёма при температурной деформации для изотропного тела по аналогии с (2.3.5) имеет вид

  • (2.4.4)

  • Последнее соотношение для малых температурных деформаций можно записать в дифференциальной форме, если полагать, что ΔV V, δV ≈ dV, ΔT T:

  • (2.4.5)

  • Величину 3 называют коэффициентом объёмного расширения тела. Производная в последней формуле взята при постоянном давлении, т.к. при однородном нагревании тела в отсутствие внешних сил внутри него не возникает каких-либо напряжений. Эту величину называют изобарной сжимаемостью среды.



Если же тело под действием внешних сил перемещается в пространстве, то перемещается и точка P как полюс (см. Рис.2.1). Поэтому, рассматривая смещение произвольного элемента объёма тела, в общем случае можно сформулировать теорему Коши-Гельмгольца в форме:

  • Если же тело под действием внешних сил перемещается в пространстве, то перемещается и точка P как полюс (см. Рис.2.1). Поэтому, рассматривая смещение произвольного элемента объёма тела, в общем случае можно сформулировать теорему Коши-Гельмгольца в форме:

  • Общее перемещение некоторой точки Q элемента объёма

  • деформируемого тела, содержащего точку P , может быть представлено

  • в виде суммы:

  • поступательного перемещения точки P как полюса;

  • вращения точки Q вместе с элементом объёма как абсолютно твердого тела вокруг точки P на малый угол, определяемый вектором поворота ;

  • собственно деформационного перемещения вследствие сжатия или растяжения по трем взаимно перпендикулярным осям (главным осям деформации).

  • Математически теорему можно записать в следующим виде:

  • (2.5.1)



В (2.5.1) εikl - символ Леви-Чивита. Из (2.5.1) видно, что по сравнению механикой абсолютно твердого тела в механике деформируемого тела к смещению любой точки добавляется еще одно слагаемое, связанное с собственно деформацией среды по трем взаимно перпендикулярным направлениям, в общем случае произвольном.

  • В (2.5.1) εikl - символ Леви-Чивита. Из (2.5.1) видно, что по сравнению механикой абсолютно твердого тела в механике деформируемого тела к смещению любой точки добавляется еще одно слагаемое, связанное с собственно деформацией среды по трем взаимно перпендикулярным направлениям, в общем случае произвольном.

  • Если при деформации элемента объема под действием внешних сил температура тела не остается постоянной (деформация неизотермическая), то к правой части определения (2.5.1) необходимо добавить еще одно слагаемое, определяющее температурную деформацию согласно (2.4.1). В этом случае общее перемещение точки Q равно

  • (2.5.2)

  • Типы деформации ,

  • Зависимость упругих свойств от температуры ,

  • Гидравлический удар





Литература по теме:

  • Литература по теме:

  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М.. Гидродинамика. М.: Наука. 2002. 735с.

  • Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1970. Т.1. 492 с.; Т.2, 568с.

  • Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ. 1950. 814 с.

  • Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 736 с.



Курс лекций является частью учебно-методического комплекса «Численные методы расчета задач механики сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная среда».

  • Курс лекций является частью учебно-методического комплекса «Численные методы расчета задач механики сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная среда».

  • Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н., профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.

  • Учебно-методический комплекс подготовлен на кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.



Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Лекция Кинематика сплошной среды iconЛекция 8 Описание физических явлений на основе уравнения Бернулли. Влияние сжимаемости среды

Лекция Кинематика сплошной среды iconЛекция 1 Проф. В. А. Остапенко
Банников А. Г., Вакулин А. А., Рустамов А. К. Основы экологии и охраны окружающей среды. 4-е изд. М.: Колос, 1999

Лекция Кинематика сплошной среды iconЛекции План лекции Предмет физики как основы естественнонаучных знаний. Единицы измерения физических величин. Механика. Кинематика. Динамика
Предмет физики как основы естественнонаучных знаний. Единицы измерения физических величин. Механика. Кинематика. Динамика

Лекция Кинематика сплошной среды iconКинематика в двух уравнениях Учащиеся средней школы №1
В учебнике физики огромное количество формул, которые трудно запомнить и не очень понятно какую когда применять

Лекция Кинематика сплошной среды iconМетодическая разработка по физике по теме «Кинематика»
Продолжить формирование понятий: механическое движение, прямолинейное и криволинейное движение, равномерное и неравномерное движение,...

Лекция Кинематика сплошной среды iconКинематика цп. Рис. Схема совместного движения цепи и звездочки
Тогда тангенциальная скорость любой точки, лежащей на делительной окружности может быть найдена по известному соотношению Пусть ведущая...

Лекция Кинематика сплошной среды iconЛекция №1 введение в физиологию животных
Физиология изучает физиологические процессы и физиологические функции живого организма на уровне клеток, тканей, органов и организма...

Лекция Кинематика сплошной среды iconХимаппаратура Теплообменники графитовые прямоугольно-блочные
Аппараты для одной агрессивной среды выполняются одно- и двухходовыми для агрессивной среды и многоходовыми для нейтральной среды....

Лекция Кинематика сплошной среды iconФакторы бизнес среды Факторы бизнес среды
Схема практической реализация профессиональной подготовки специалистов сро во взаимодействии с обучающей организацией

Лекция Кинематика сплошной среды iconЛекция 12 Структура лекции
Наука в современной России А. Сунгуров Курс «Логика и методология науки», Лекция 12

Разместите кнопку на своём сайте:
uchise.ru


База данных защищена авторским правом ©uchise.ru 2012
обратиться к администрации
uchise.ru
Главная страница